Spaß mit Taylorpolynomen

Eine sehr faszinierende Methode in der Mathematik ist die Entwicklung von Taylorpolynomen. Damit kann man für Menschen schwierig zu berechnende Funktionen wie z.B. trigonometrische Funktionen oder Logarithmen mit einem Polynom annähern, das naturgemäß viel leichter zu berechnen ist.

Das Verfahren ist recht einfach: Solange die Funktion reell und beliebig oft differenzierbar ist, können wir an einer konkreten Stelle die Funktionswerte durch eine Polynomfunktion annähern und die Genauigkeit abschätzen. Für bestimmte Funktionen gelingt das erfreulich schnell! Warum das genau funktioniert, soll nicht im Detail erläutert werden; hier geht es mehr um die Praxis.

Die allgemeine Form des Taylorpolynoms an der Stelle a und mit der Näherungsordnung n lautet:

taylor-formel

Betrachten wir die Funktionen Cosinus und Sinus, vernachlässigen für den Moment mal, dass es Computer gibt, die uns die Arbeit eigentlich abnehmen würden und versuchen, zu Fuß zu einer brauchbaren Näherungslösung zu kommen. Zunächst müssen wir die Koeffizienten ausrechnen und das geht für elementare Funktionen recht flott, solange man mit den Vorzeichen aufpasst. Die Rechenvorschrift für die Koeffizienten lautet:

taylor-coeff

Und wir sehen schon, dass wir oft ableiten müssen. Doch schon bald stellt sich eine Regelmäßigkeit ein, die man bei Sinus und Cosinus wegen deren schöner Periodizität schon vermuten würde. An der Stelle x=0 ergibt sich für Sinus folgendes Näherungspolynom:

taylor-sinx

Hat man Mathematikprogramme wie Maple oder das freie Maxima installiert, lässt man sich die Näherungspolynome auch für eine gewisse Näherung direkt ausrechnen und spart sich die fehlerträchtige Rechnerei mit Papier und Bleistift. Wobei Letzteres allerdings mehr zum Verständnis und zur Routine beiträgt und man den Computer nur zur Kontrolle benutzt.

Wir tragen die Funktionen für den Wertebereich um die Null herum als Graph auf. In Ermangelung von Millimeterpapier verwenden wir auch hier den Computer. Die Grafik ist mit Maple erstellt, das eine komfortable Bearbeitung der Ausgabe erlaubt (ich weiß, GNUPlot ist schon cooler…).

In der Umgebung des vorher gewählten Punkts bleibt das Polynom erstaunlich genau am Original.

In der Umgebung des vorher gewählten Punkts bleibt das Polynom erstaunlich genau am Original.

Hier sieht man deutlich, dass die Näherung in einer Umgebung sehr genau ist und zu den Rändern immer stärker abweicht. Die Taylor-Näherung erlaubt aber eine Verschiebung auf einen anderen Wertebereich. Nun darf experimentiert werden! Es macht Spass, sich die numerischen Werte von Sinus ausgeben zu lassen (Intel-Prozessoren können das prima) und mit den ermittelten Näherungen zu vergleichen. Der Fehler den man dabei macht, lässt sich mit dem Satz von Taylor abschätzen.

Der praktische Nutzen der Taylorpolynome erweist sich vor allem in der numerischen Modellierung vor allem in Natur- und Ingenieurswissenschaften. Die Analysis stellt hier ein einfach zu benutzendes und mächtiges Werkzeug zur Verfügung.

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